☛ Encadrements de cosinus et sinus

Propriété

Pour tout réel $x$ , on a $-1⩽\cos (x)⩽1$  et $-1⩽\sin (x)⩽1$ .

Énoncé

Déterminer la limite de $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\cos (x)-1}{x}}$ .

Solution

Pour tout réel  $x$ , on a $-1⩽\cos (x)⩽1$ .
On en déduit que, pour tout réel $x>0$ , on a $-{\displaystyle \frac{2}{x}}⩽{\displaystyle \frac{\cos (x)-1}{x}}⩽0$ .
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-{\displaystyle \frac{2}{x}}=0$  donc, d'après le théorème des gendarmes, on obtient $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\cos (x)-1}{x}}=0$ .

Remarque

Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en $-\mathrm{\infty }$  et $+\mathrm{\infty }$ .